Lógica Condicional y el Bicondiciona

En clase hay algunas dudas con este tema . Creo que con estas pautas puede quedar muy claro. ¡ánimo!

El Condicional

Considera la siguiente proposición: “Si obtienes una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo.” Esta parece ser compuesta en dos oraciones más simplemente:

p: “Obtienes una A en lógica,” y

q: “Te voy a comprar un Mustang amarillo.”

La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad, entonces q es verdad, o, más simple, si p, entonces q. También podemos escribir la frase como p implica q, y escribimos p→q.

Ahora supongamos por el bien de la discución de que la proposición original: “Si obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo,” es verdad. Esto no significa que tu obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo. Si Pensamos en esto como una promesa, la única manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas una A pero no te compro un Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para definir la proposición p→q.

CondicionalLa condicional p→q, que se lee “si p, entonces q” o “p implica q,” se define con la siguiente tabla de verdad.

p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V

La flecha “→” es el operador condicional, y en p→q la proposición p es llamada en el antecedente, o hipótesis, y q es llamada la consecuente, o conclusión.

Observa que el condicional en un nuevo ejemplo de un operador lógico binario — asigna a cada par de proposiciones p y q la nueva proposición p→q.

Nota

1. La única manera que puede ser falsa p→q es si p es verdadera y q es falsa—esto es el caso de la “la promesa rota.”

2. Si estudias la tabla de verdad una vez más, puedes ver que decimos que “p→q” es verdadera cuando p es falsa, sin importa el valor de verdad de q. Esto tiene más sentido en el contexto de la promesa — si no obtienes una A, entonces si o no te compro un Mustang, no estoy rompiendo mi promesa. Sin embargo, va en contra del grano si piensas que “si p entonces q” es lo mismo que decir que p causa q. El problema es que hay realmente muchas maneras que las frases en español “si … entonces …” se utilizan. Lógicos están de acuerdo que el significado que se da en la tabla de verdad más arriba es lo más útil para las matemáticas y por lo tanto, eso es el significado que siempre usaremos. Dentro de poco discutiremos otras frases en español que interpretamos con el mismo significado.

A continuación, algunos ejemplos que nos ayudaran a explicar cada línea de la tabla de verdad.

Ejemplo 1 (Verdadera implica Verdadera) es Verdadera

      Si p y q son verdaderas, entonces p→q es verdadera. Por ejemplo:

        Si 1+1 = 2 entonces el sol sale por el este.

Aquí p: “1+1 = 2” y q: “El sol sale por el este.”

Antes de seguir…

Observa que las proposiciones p y q no tiene nada que ver una con otra. No estamos diciendo que el sol sale por el este porque 1+1 = 2, simplemente que la proposición entera es lógicamente verdadera.


Ejemplo 2 Verdadera no Puede Implicar Falsa

      Si p es verdadera y q es falsa, entonces p→q es falsa. Por ejemplo considera:

        Cuando llueve, llevo un paraguas.

Aquí p: “Esta lloviendo,” y q: “Llevo un paraguas.” En otras palabras, podemos reformular la frase o oración como: “Si llueve entonces llevo un paraguas.” De hecho, es frecuentemente el caso que llueve (p es verdadera) y se me olvido traer mi paraguas (q es falsa). En tal momento la proposición p→q es claramente falsa.

Antes de seguir…

Observa que interpretamos “Cuándo p, q” como “Si p entonces q.”


El siguiente ejemplo explica las dos últimas líneas de la tabla de verdad para la condicional.

Ejemplo 3 Falso implica cualquier cosa

      Si p es falso, entonces p→q es verdadera, no inporta si q es verdadera

o no.

      Por ejemplo:

        Si la luna es hecha de queso verde, entonces soy el rey de Inglaterra.

Aquí p: “La luna es hecha de queso verde,” que es falsa, y q: “Soy el rey de Inglaterra.” La proposición p→q es verdadera, si o no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o si, lo que es más, aún hay un rey de Inglaterra).

Antes de seguir…

“Si tuviera 1 millón de dólares estaría en Easy Street.” “Sí claro, y si mi abuela tuviera ruedas ella sería un autobús.” El punto de la réplica es que si la hipótesis es falsa, la implicación entera es verdadera.

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